A este juego le faltan dos cartas

Dobble es un juego delicioso. Rápido, competitivo, compacto, es la opción perfecta para introducir a muggles en el mundo de los juegos de mesa. Las cartas redondas y las reglas simples los atraen aún más. Pero es un juego con una miga matemática que no te esperas. Empecemos por explicar la mecánica del juego.

El Dobble es un juego de cartas en las que cada una de ellas tiene ocho dibujos diferentes. Si comparas dos cartas entre sí, todos los dibujos en esas dos cartas son diferentes excepto uno. Y puedes probar con cualquier combinación de dos cartas, siempre habrá uno y solo un dibujo que coincida entre ambas. Hay distintos modos de juego, pero todos se basan en ser el primero que encuentra el dibujo coincidente entre tu propia carta y una carta ajena o común para todos los jugadores: el que más rápido la encuentre se va deshaciendo de cartas o va ganando más y más cartas dependiendo del método de juego. En total hay 55 cartas, cada una con 8 símbolos, y un total de 57 símbolos repartidos entre ellas.

Ejemplo de los símbolos en común entre varias cartas

Cómo de difícil ha sido diseñar este juego? Aquí es donde se hace necesario introducir la geometría proyectiva, que tiene dos postulados iniciales muy parecidos a nuestras limitaciones en el juego:

  • Dos puntos definen una recta.
  • Todo par de rectas se cortan en un punto.

Si ponemos “cartas” y “símbolos” en esas dos frases (y lo reescribimos más claro), tenemos algo parecido a nuestras restricciones en el juego de mesa:

  • Dos cartas definen un símbolo (o dos cartas tienen en común un sólo símbolo).
  • Todo par de símbolos (distintos) se cortan en una carta (cierta combinación de símbolos sólo se da en una carta concreta).

Si además añadimos que es un sistema geométrico finito, llegamos a un problema de geometría proyectiva plana finita. Esto va mucho más allá de mis capacidades matemáticas, pero sí que sé que se conocen ciertas propiedades de este problema:

  • Si existe una geometría con Q puntos (cartas), entonces Q=n^2+n+1, donde n es el orden de la geometría.
  • En cada línea (figura) hay n+1 puntos (cartas). Es decir, cada figura aparece en n+1 cartas.
  • Por cada punto (carta) pasan exáctamente n+1 líneas (figuras). Es decir, en cada carta hay n+1 dibujos.
  • El total de líneas (símbolos) es igual a Q, es decir, tenemos el mismo número total de símbolos que de cartas.
  • Y la más mejor de todas: si n es un número primo una potencia de un número primo, entonces existe una geometría de orden n.

Y qué mejor manera de visualizarlo que verlo para un caso simple? Empecemos con tres dibujos por carta. Si dibujamos una geometría donde se crucen tres lineas en cada punto, obtenemos el siguiente esquema la mar de simple, donde cada recta (y color) representa un símbolo, y cada punto donde se cruzan tres de ellas representa una carta.

Dobble Euclidiano

De esa manera tenemos cuatro cartas con tres símbolos cada una y un total de seis símbolos. Pero aquí no se ha usado la geometría proyectiva: las líneas paralelas (negra y amarilla, o verde y azul) no se cortan en un punto. Tampoco las roja y blanca, puesto que no tienen una carta en común. Por lo tanto no se cumple la segunda condición, estamos frente a una geometría euclidiana. Si se quiere refinar un poco más el problema, se ha de añadir un punto (un nuevo símbolo) en el infinito donde se crucen estas líneas paralelas, una suerte de punto de fuga. Así se obtiene el siguiente esquema, donde el nuevo símbolo hace que estas líneas que no poseían un punto en común ahora sí que lo tengan (negra-amarilla-morada, azul-verde-morada y roja-blanca-morada). Hemos conseguido hacer un juego de siete cartas (Q=7), siete símbolos (Q=7), y tres símbolos en cada carta (n+1=3). Es un sistema de orden n=2, que por cierto es un número primo, necesario suficiente para que la geometría exista.

Dobble proyectivo. Esto se conoce como el Plano de Fano, de orden 2 (n=2) y dimensión 2 (bidimensional, planar).

Si vamos a nuestro juego, tenemos ocho símbolos en cada carta (n+1=8, orden n=7, fijaos que 7 también es un número primo), con lo que el total de símbolos repartidos entre las cartas es Q=n^2+n+1=7^2+7+1=57, y según la teoría, el número de cartas total es el mismo, Q=57. Pero en nuestro juego tenemos 57 símbolos repartidos en 55 cartas! Por qué tenemos menos de las teóricas? La respuesta es… que tendríamos que preguntar a los diseñadores. El máximo de cartas que se pueden componer es 57, pero no es necesario usarlas todas para que funcione. Por ejemplo, cogiendo cinco cartas cualesquiera también funciona, pero sigue sin ser el máximo número de cartas que se podrían generar. Quizá los creadores del juego calcularon las posibilidades por fuerza bruta y se dejaron dos? Quien sabe. Si os va la marcha podéis intentar buscar las dos combinaciones de símbolos que faltan.

Actualización 2014-11-26 12:12

Muchas gracias a David Ordén @ordend, genial matemático y divulgador, por pequeñas correcciones y por las siguientes puntualizaciones sobre el módulo de la geometría finita:

  1. Se sabe que el conjunto Z_n de números módulo n es un cuerpo finito si, y solo si, n es potencia de un primo.
  2. Pero para el orden de una geometría finita solo se sabe una de las implicaciones: Si n es potencia de un primo, entonces se puede construir una geometría finita de orden n. (No se sabe si para toda geometría finita el orden tiene que ser una potencia de un primo).

No las he incluído en el texto para no embarullarlo en exceso, aunque he corregido lo de la potencia de un primo.

Esta entrada participa en la Edición 5.8: Betty Scott del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog tocamates.

Todo esto lo he recopilado, reformado y traducido de StackOverflow [1] y de Images des Maths [2] cuando investigaba sobre ello; la idea original del post sigue habiendo salido de mi cabeza de tanto jugar al Dobble con mi familia.

Las dos últimas figuras han sido creadas por Maxime Bourrigan para Images des Maths, usadas con permiso del autor y del blog, a los que agradezco su respuesta e interés. Las otras dos son de la página web checa del juego.

Referencias:

[1] StackOverflow, “What are the mathematical/computational principles behind this game?” answer “Finite Projective Geometries” http://stackoverflow.com/a/6240394

[2] Maxime Bourrigan, « Dobble et la géométrie finie » — Images des Mathématiques, CNRS, 2014. http://images.math.cnrs.fr/Dobble-et-la-geometrie-finie.html

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9 comentarios en “A este juego le faltan dos cartas”

    • De manera competitiva desde los 6 años (es lo que dice la caja), aunque la edad de los participantes debería de ser similar porque hay mucha diferencia en los reflejos de adultos respecto a niños.
      Nosotros jugamos con el nuestro desde los 4 años, pero sólo a encontrar por turnos el símbolo que coincide. Con la de dos años jugamos a que diga el dibujo que le venga en gana, porque cualquiera le dice que no puede participar mientras los demás jugamos con las cartas redondas de colorines! 😀

  3. ¡Chulísimo! Me lo voy a pedir 🙂

    Una cosa interesante:

    – Se sabe que el conjunto Z_n de números módulo n es un cuerpo finito si, y solo si, n es potencia de un primo.

    – Pero para el orden de una es geometría finita solo se sabe una de las implicaciones: Si n es potencia de un primo, entonces se puede construir una geometría finita de orden n. (No se sabe si para toda geometría finita el orden tiene que ser una potencia de un primo).

    Enhorabuena por la entrada.

  5. Pingback: Tercer Blogiversario | Haciéndome el Sueco

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