Los trenes no se van por la tangente

Los ejes de ferrocarril tienen un sistema de guiado peculiar, en el que la propia geometría de los carriles y las ruedas hacen que no se desvíen de la trazada. Hace unos meses escribí La física de un eje de ferrocarril, donde expliqué la estabilidad y robustez de los ejes cuando circulan en línea recta. Pero os puedo hacer un pequeño resumen de una línea: gracias a que las ruedas tienen una forma de cono con el vértice hacia el exterior del eje, el cambio del radio de rodadura en ambas ruedas cuando se desplaza lateralmente hace que sean estables.

Hoy me voy a poner estupendo y os voy a desarrollar las matemáticas detrás de esto, para lo que os recomiendo encarecidamente que os leáis la entrada anterior para entrar en calor. Aviso de que ésta no es para todos los públicos, pero con un mínimo de Ecuaciones Diferenciales podéis seguir el razonamiento. Lo primero que necesitamos es un esquema de lo que vamos a analizar.

Esquema de eje de ferrocarril para demostrar la ecuación de Klingel

En la figura se comprueba que, con un desplazamiento lateral y del eje, el radio de rodadura de ambas ruedas cambia: en la rueda 1 aumenta \delta r =\lambda \cdot y , mientras que en la rueda 2 disminuye la misma cantidad, por ser el ángulo de ambos perfiles constante. ¿Y por qué es constante? Me estoy adelantando a mí mismo; como será un estudio idealizado, antes de continuar podemos suponer las siguientes simplificaciones:

  • La velocidad del eje es constante, de valor v_0
  • Las dos ruedas y el eje están rígidamente unidas, por lo que unido al punto anterior la velocidad de rotación del eje es constante y de valor \Omega=v_0/r_0
  • El ángulo de conicidad del eje es constante, de valor \lambda
  • Los carriles se consideran unidimensionales, es decir, es contacto entre rueda y carril es puntual. La distancia entre carriles es constante, de valor b_0
  • La rodadura de las ruedas sobre el carril es pura, sin deslizamiento.
  • Las inercias del sistema no se consideran, es un análisis cinemático

Partiendo del punto inicial en la figura anterior, la velocidad lineal de cada rueda a la altura de los puntos de contacto es la siguiente:

v_1=\Omega \cdot r_1=\Omega \cdot (r_0+\delta r)=\Omega \cdot (r_0+\lambda \cdot y)

v_2=\Omega \cdot r_2=\Omega \cdot (r_0-\delta r)= \Omega \cdot (r_0-\lambda \cdot y)

Y con estas dos velocidades se calcula la velocidad angular de lazo:

\dot{\psi}\simeq \frac{v_2-v_1}{2b_0}=\frac{\Omega(-2\lambda\cdot y)}{2b_0}=-\frac{\lambda}{b_0\cdot r_0}v_0 \cdot y

También podemos calcular las velocidades longitudinal y lateral en relación al ángulo de lazo, y simplificarlo considerando pequeños ángulos:

\dot{x}=v_0 \cos(\psi)=v_0

\dot{y}=v_0 \sin(\psi)=v_0 \cdot \psi

Podemos eliminar la dependencia con el tiempo de la siguiente manera:

\frac{\dot{y}}{v_0}=\frac{\partial y / \partial t}{\partial x/ \partial t}=\frac{\partial y}{\partial x}

\frac{\dot{ \psi }}{v_0}=\frac{\partial \psi / \partial t}{\partial x/ \partial t}=\frac{\partial \psi}{\partial x}

Sustituyendo estas variables en ecuaciones anteriores:

\frac{\dot{y}}{v_0}=\psi \Rightarrow \frac{\partial y}{\partial x} = \psi

\frac{\dot{ \psi }}{v_0}=-\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0} \cdot y \Rightarrow \frac{\partial \psi}{\partial x}=-\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0} \cdot y

Y derivando la primera de estas dos relaciones respecto de x y combinándola con la segunda de ellas:

\frac{\partial ^2 y}{\partial x^2 } = \frac{\partial \psi }{\partial x } = -\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0} \cdot y

Acabamos de obtener una ecuación diferencial lineal homogenea de segundo orden que representa el desplazamiento lateral de nuestro eje a lo largo de su recorrido sobre los carriles.

\frac{\partial ^2 y}{\partial x^2 } + \frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0} \cdot y =0

El polinomio característico de dicha ecuación es:

p ^2 + \frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0} =0

Resolviendo el polinomio se obtienen las raíces del sistema, que en este caso son:

p=\sqrt{\frac{-\lambda}{b_0 \cdot r_0}}

Éstas son, o pueden ser, números complejos de la forma p=a+bi , y aquí es cuando tenemos que especificar el signo de \lambda , ya que un valor positivo representa un eje clásico, como el dibujado en la figura anterior, y obtenemos raíces complejas puras; pero un valor negativo representa un eje con las ruedas invertidas, obteniendo raíces reales.

En el caso genérico, la solución de una ecuación diferencial con raíces complejas conjugadas del tipo p=a\pm i\cdot b es como sigue:

y= C \cdot e^{a \pm i(bx +\beta)}

Con C y \beta dos constantes que dependen de la posición inicial del eje. Comencemos por el primero de los casos: para un eje clásico con conicidad positiva, las raíces del sistema son imaginarias puras, de manera que las raíces del sistema serán las siguientes:

p=\pm i \sqrt{\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0}}

Y su solución del tipo:

y= C \cdot e^{ \pm i\left (x \cdot \sqrt{\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0}} +\beta\right ) }=

= C \cdot \left [\cos \left (\sqrt{\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0}} x+\beta\right )+\sin\left (\sqrt{\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0}} x+\beta\right ) \right ] =

= C \cdot \cos\left (\sqrt{\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0}} x + \beta_2\right )

Tenemos un movimiento sinusoidal cuya amplitud y fase dependen del punto inicial en que calculemos el sistema. Sin necesidad de calcularlo, se puede adivinar que el movimiento del eje tiene la siguiente longitud de onda.

\L_w=2\pi \cdot \sqrt{\frac{b_0r_0}{\lambda}}

Lo que es mundialmente conocido en mi sector como la Fórmula de Klingel, derivada allá por el 1883. ¿Viejo? Si la física moderna ya tiene más de 100 años, qué esperabais de esto…

Movimiento de lazo de un eje de ferrocarril

Así bailaba, así, así ♪ nuestro eje de ferrocarril ♫

Pero nos hemos dejado el otro caso, en que nuestro eje tiene conicidad negativa. Imaginaos que las ruedas están al revés. ¿Qué nos dice la solución del sistema sobre el movimiento de este eje? Lo primero, las raíces del sistema ya no son imaginarias, sino reales. Además, una de ellas es positiva (y esto es importante, veréis porqué en un momento.)

p=\pm \sqrt{\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0}}

La solución en este caso es:

y= C \cdot e^{ \pm x \cdot \sqrt{\frac{\lambda}{b_0 \cdot r_0}}}

Estas funciones son una exponencial positiva y otra negativa. La exponencial negativa tiene un valor decreciente y tiende a cero cuanto mayor es el desplazamiento horizontal x , pero la exponencial positiva, la solución correspondiente a la raíz real positiva del polinomio característico, tiende a infinito según aumenta x .

Exponencial negatifa y positifa

Eso significa que, para ejes de conicidad negativa, el desplazamiento lateral del eje aumenta de manera incontrolada, descarrilando irremediablemente, tal y como ya vimos en la anterior entrada (y os vuelvo a enseñar aquí, que para eso fue mi primer gif chispas.)

Total, que los trenes no se van por la tangente gracias a la trigonometría. Qué irónico.

Eje de ferrocarril de conicidad invertida

(Click para ampliar)

Notas

Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas que organiza @cuantozombi en su blog El Zombi de Schrodinger

Esta entrada participa en la edición LVII (octubre) del Carnaval de Física que organizan en Divulgación

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2 comentarios en “Los trenes no se van por la tangente

  1. Pingback: Edición LVII del Carnaval de la Física | Divulgación

  2. Pingback: Resumen de la edición Alan Turing del Carnaval de Matemáticas | El zombi de Schrödinger

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